一張地圖，不是一串課本章節。

這是一張地圖，不是一條課程軌道：它說明主題彼此怎麼連起來、數學在什麼時候自然進來，以及可以往哪裡延伸。一對一教學、自學、公開筆記與未來的內容都用得上同一張圖；實際進度依學生決定，不是任何一期課程的交付清單。

地圖不以段考進度切段，也不追求把 108 課綱章節提前全部上完。

原則為 80% 固定主線，加上 20% 由學生問題延伸的岔路。需要的數學採「適時引入」的方式：物理走到哪裡，數學橋梁就搭到哪裡。

入口｜描述運動

多數學習者的第一段路，約相當於 10 小時的內容。

這段是整張地圖的入口：先把運動描述清楚，微分與積分才有出現的理由。實際深度依學習者的理解與提問調整。

第一步｜位置、時間與運動

• 參考系、座標與位置函數 $x(t)$。
• 位移與路程有何不同？如何描述平均速度？
• 函數與圖像，以及單位、量綱與尺度。

第二步｜瞬時速度究竟是什麼？

• 從 $\Delta x/\Delta t$ 出發，建立極限的直覺。
• 把微分理解為瞬時變化，走向 $v=dx/dt$。
• 不要求學生事先學過微積分；從問題本身搭出需要的數學。

第三步｜從速度回到位置

• 用速度—時間圖、加速度—時間圖描述運動。
• 從累積量建立積分直覺，連結 $a=dv/dt$。
• 探索非等加速度運動；簡諧運動可首次作為運動學例子出現。

第四步｜不同觀察者看到的運動

• 慣性參考系、伽利略變換與相對速度。
• 從光速問題，打開狹義相對論的入口，思考牛頓運動學的適用範圍。
• 依學習者進度控制深度，不會在這個入口段落就把相對論完整走完。

完整地圖

以下是入口之後的主線與岔路。它描述主題之間的連結順序，依實際進度展開，不是任何一期課程保證完成的清單。

模組 0｜物理與數學的語言

測量、單位、量綱、估算、模型、函數、圖像與向量。這不是獨立的長章：一開始集中建立基本語言，之後持續穿插。

模組 1｜描述運動

位置、速度、加速度、極限、微分、積分與向量運動。簡諧運動第一次以 $x(t)$ 的運動學案例出現：位置如何隨時間改變？

插曲｜狹義相對論

從伽利略相對性與光速問題，進入同時性、時間膨脹及長度收縮等概念入口。這段插曲著重理解理論的適用範圍，深度依學生進度調整。

模組 2｜為什麼運動會改變？

牛頓定律、力、自由體圖、圓周運動與重力。從

第一次認識微分方程：已知力的規則，如何找出未知的運動？簡諧運動第二次從虎克定律 $F=-kx$ 出現。

模組 3｜能量與振盪

功、動能、位能、守恆與位能圖。簡諧運動第三次從能量的角度理解，並延伸到阻尼與共振。

模組 4｜從振盪走向波

耦合振子、傳播、波長、頻率、相位、疊加、駐波與聲音。若進度與學生狀況適合，讓學生第一次看見波動方程的形式，但不要求求解偏微分方程。

專題探索

走到適合的段落時，可以安排專題。可能包含 Python 模擬、實驗資料、圖表、程式碼、3–5 頁短報告與簡短口頭分享。

題目依學習者的興趣與進度決定，不預先承諾固定題目。重點是完成一段「問題、模型、方法、結果與討論」的探索，而不是把指定答案做漂亮。