雙點波源干涉

雙曲線的定義：平面上到兩個焦點的距離差（取絕對值）為定值的所有點。

把 S₁、S₂ 當作焦點，兩焦點距離 $2c = d$。一條條件線要求 $|r_2 - r_1| = |D|$ 固定，也就是 $2a = |D|$。以兩波源中點為原點：

本實驗採用帶正負號的 $\Delta r = r_2 - r_1$：$\Delta r > 0$ 表示 P 離 S₁ 較近，落在左支；$\Delta r < 0$ 落在右支。

兩個特例

$D = 0$：到兩波源等距的點是中垂線，所以中央線是直線。

$|D| = d$：三角不等式 $|r_2 - r_1| \le d$ 取等號，只在 P 位於兩波源連線上、且在兩波源外側時成立。此時 $b = 0$，雙曲線壓扁成兩條從波源向外的半直線。$|D| > d$ 則根本沒有點滿足，線就不存在。

關鍵只有一個上限：$|\Delta r| \le d$。

波腹線（同相波源）

條件 $|\Delta r| = m\lambda$，而 $m\lambda \le d$，所以 $m = 0, 1, \ldots, \lfloor d/\lambda \rfloor$。$m = 0$ 只有中央一條；每個 $m \ge 1$ 左右各一支：

波節線

條件 $|\Delta r| = \left(m + \tfrac12\right)\lambda \le d$，所以 $m = 0, 1, \ldots, \lfloor d/\lambda - \tfrac12 \rfloor$，共 $\lfloor d/\lambda + \tfrac12 \rfloor$ 個值；沒有中央那條，每個值左右各一支：

等號也要算

當 $m\lambda$ 剛好等於 $d$（例如 $d = 3\lambda$ 的 $m = 3$），那一階是兩條退化半直線，仍然算兩條。所以 $d = 3\lambda$ 時是 7 條波腹線、6 條波節線。

P 點收到的兩列波，相位差來自兩個部分：多走的路，加上波源本身的初相位差。

相長要 $\Delta\phi = 2\pi m$，相消要 $\Delta\phi = 2\pi\left(m + \tfrac12\right)$。把相長條件解出路徑差：

當 $\phi_2 - \phi_1 = \pi$，相長位置變成 $\Delta r = \left(m - \tfrac12\right)\lambda$——正是原本波節的位置；相消位置同理移到原本波腹的位置。整組線只是平移了半個波長的路徑差。

同調不等於同相

穩定干涉圖樣需要兩波源同調：頻率相同、相位差固定不隨時間變。180° 的相位差固定不變，所以仍然同調，圖樣照樣穩定。

用字要小心

振幅不等或考慮距離衰減時，兩列波反相抵達，合成振幅是 $|A_1 - A_2|$，未必是零。所以離開課本條件後，本實驗把線改稱「相長／相消條件線」。

單一波源在距離 r 處的瞬時相位是

兩列波的相位差

完全不含 $t$。只要兩波源頻率相同、相位差固定，每一點的相位差永遠是同一個值；條件線描述的正是這個值，所以不會移動。

模擬器畫的是什麼

把兩列波合成一個不含時間的相量 $C(x,y) = |C|\,e^{i\Phi}$，瞬時位移是它隨時間的投影：

• 瞬時位移 ψ：隨時間在 $\pm|C|$ 之間振動。
• 合成振幅 |C|、強度 |C|²：振動的上限，不隨時間變。波節上 $|C| = 0$，所以每一瞬間 ψ 都是 0。
• 合成相位 Φ：也不隨時間變。瞬時相位 $\Phi - \omega t$ 會變，但整張圖每一點同步轉同樣的角度，空間結構不變。

介質微元只在平衡位置附近振動；向外傳播的是波形（相位結構）與能量。